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Somme des k^2 par recurrence

<latex> bonsoir, quelqu'un peut il me rappeler comment on calcule la somme des k^3. soit $\sum_{k=1}^{n}k^3$ je sais que la somme de k termes est n(n+1)/2 mais ça ne m'aide pas... merci à vous Récurrence : Calcul de sommes. Montrer que pour tout entier naturel n non nul : \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right) = \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3} \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)= \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4} Corrigé. Initialisation On commence l'initialisation à n=1 car l'énoncé précise que n est un entier naturel non nul. La. Le raisonnement par récurrence Sommaire Dans cette partie, nous introduisons le principe de récurrence, d'abord au travers de l'exemple de la somme des entiers de 0 à n n n puis de façon plus générale. L'objectif est de vous faire assimiler les concepts derrière le raisonnement par récurrence afin que vous soyez en mesure de l'appliquer dans la suite du tutoriel

somme des k^3 - Les-Mathematiques

Je ne comprend pas d'où on a l'expression de k^2 de 0 à n ( par contre la somme de k de 0 à n est expliqué ). Pouvez vous m'expliquer comment on fait pour la trouver s'il vous plaît ? Merci d'avance N.B: je veux comprendre d'où on a l'expression de la somme et non pas sa démonstration par récurrence ----- Images attachées. IMG_20140622_065728.jpg‎ (74,1 Ko, 30 affichages) Dernière. Révisez en Terminale S : Exercice Donner la valeur simplifiée d'une somme par récurrence avec Kartable ️ Programmes officiels de l'Éducation national

Récurrence : Calcul de sommes - Maths-cour

  1. Oui, il y a plusieurs façons :-La récurrence -Ou sinon tu calcules de deux façon $ \displaystyle \sum_0^n{(k+1)^3 - k^3} $ pour trouver la somme des carrés. De même pour trouver la somme des cubes tu calcules $ \displaystyle \sum_0^n{(k+1)^4 - k^4} $. (Ce raisonnement à un rang $ n $ suppose que tu sais calculer les sommes de tous les rangs inférieurs ou égal au rang $ n - 2 $)
  2. Le raisonnement par récurrence I. Découverte du raisonnement par récurrence On considère la suite de nombres (u n) n∈N définie par : u0 = 1et pour tout entier naturel n, u n+1 = 2u n+1. Ainsi, u0 = 1puis u1 = 2×u0+1= 2×1+1= 3puis u2 = 2×u1+1= 2×3+1= 7puis u3 = 2×u2+1= 2×7+1= 15. Décrivons les premières valeurs de u n dans un tableau et comparons ces valeurs aux premières.
  3. Sommes, produits, récurrence ECE3 Lycée Carnot 18 septembre 2010 Pour ce deuxième chapitre, un peu de théorie, puisque celui-ci av nous permettre de dé nir quelques notations et méthodes supplémentaires qui nous seront bien utiles par la suite (ou peut-être devrais-je dire plutôt pour les suites, puisqu'il s'agit du premier thème faisant intervenir de façon assez intensive le.
  4. En mathématiques, la somme de deux nombres est le résultat de leur addition. Elle se calcule de différentes manières selon le système de numération employé. Du fait de la commutativité et de l'associativité de l'addition, la somme d'un ensemble fini de nombres est bien définie indépendamment de l'ordre dans lequel est faite l'addition, mais il n'existe pas toujours de formule.

Lien COURS EXO avec 35 exercices corrigés en vidéos https://www.dropbox.com/s/03llj6n1xz1nciy/TS-suites%20et%20r%C3%A9currence.pdf?dl= Mais, dans ta somme télescopique tu as fait une erreur. Tu devrais avoir: (n+1)^3-1, bon après il suffit de tout mettre au même dénominateur et faire des factorisation. Posté par . natchao re : Démonstration somme de k² (méthode particulière) 11-09-12 à 21:18. Désolé ma réponse peut paraître peu aimable mais ce n'était pas le but ! Je crois que j'y suis arrivée ! Merci beaucoup. En mathématiques, le raisonnement par récurrence (ou par induction, ou induction complète) est une forme de raisonnement visant à démontrer une propriété portant sur tous les entiers naturels.Le raisonnement par récurrence consiste à démontrer les points suivants : . la propriété est satisfaite par l'entier 0 ; chaque fois que cette propriété est satisfaite par un certain nombre. T D n°1: Les suites 1 : généralités, suites géométriques et récurrences. Exercices sur les sommes de termes d'une suite géométrique, sur les suites arithmético-géométriques, les variations et la démonstration par récurrence. T D n°2: Les suites 2 : limites et théorèmes de comparaison

Par hypothèse de récurrence : u k ≤ 2 u_{k} \le 2 u k ≤ 2, on rajoute 2 2 2 de part et d'autre de l'inégalité 2 + u k ≤ 2 + 2 2+u_{k} \le 2+2 2 + u k ≤ 2 + 2 2 + u k ≤ 4 2+u_{k} \le 4 2 + u k ≤ 4 on compose par la fonction racine carrée les deux membres de l'inégalité (notre objectif est de faire apparaitre dans le membre de gauche u k + 1 u_{k+1} u k + 1 ). La fonction. Somme des k 2 k^2 k 2. Binôme de Newton. Formule du crible (et tout plein d'autres trucs de dénombrements). Formule de Taylor avec reste intégral. Beaucoup de calculs de déterminants peuvent se faire par récurrence. Par exemple celui de Vandermonde. Pareil pour des calculs de sommes ou d'intégrales

Conclusion: Par récurrence, Exemple : Montrons que la somme des n premiers entiers non nuls vaut : Montrons par récurrence la propriété suivante : pour tout n non nul : Initialisation : La propriété est vraie au rang 1, il y a donc initialisation. Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang p, c'est à dire: Et montrons qu'alors, la propriété est vraie au rang p+1, c. Formule de récurrence Soit un robot qui doit monter un escalier de N marches. Soit à trouver la somme de N entiers (par exemple). Je dispose du robot : il bouge les pieds alternativement. On me donne une formule : ½ N (N+1) On me dit qu'il sait monter l'escalier. On me dit qu'elle permet de calculer rapidement la somme des entiers On trouve S1 =1 puis S2 =1+3 =4 puis S3 =1+3+5 =9 puis S4 =1+3+5+7 =16 puis S5 =S4 +9 =16+9 =25. Il apparaît, semble-t-il, la suite des carrés des nombres entiers, mais cette constatation est insuffisante. Nous ne savons toujours pas ce que vaut S6 avant de l'avoir calculé, et pour savoir si nous avons vu juste, il faut se diriger vers un raisonnement de portée générale : si au k-ème. Raisonnement par récurrence. Le raisonnement par récurrence est l'un des raisonnements les plus utiles en Terminale de spécialité Mathématiques en France. Le raisonnement par récurrence en image. Ce raisonnement peut-être visualisé par des dominos qui tombent tous quand: le premier tombe,.

RÉCURRENCE, SOMME, PRODUIT Pour rédiger rigoureusement une preuve par récurrence double, on procède de la manière sui-anvte : 1)On énonce clairement la propriété P(n) que l'on souhaite démontrer. On écrit donc : Pour tout n n 0; on pose P(n) : ::: 2) Initialisation : on démontre que P(n 0) et P(n 0 + 1) sont vraies. 3) Hérédité : on pose un entier n n 0 xé . On suppose que P(n. Merci bien pour ces réponses, c'est celle de Yalcin dans le post cité qui m'intéressait : (1+k) 3 = 1 + 3k + 3k 2 + k 3 Autrement merci pour ta 2ème méthode, je la trouve sympa aussi :) Par contre, ta 1ère méthode, les points de suspension cache une récurrence... c'est le risque comme a dit ev Ton problème est que tu n'as pas compris le symbole utilisé : lorsqu'on écrit une somme de cette façon, il s'agit en fait d'une notation abrégée : on fait la somme de tous les nombres de la forme (2 k - 1) quand k varie de 1 à n donc la somme des nombres obtenus quand on remplace successivement k par 1 puis par 2 puis par 3 jusqu'à remplacer k par Une relation de récurrence : lorsqu'une suite est définie par récurrence, il existe un lien entre l'expression du rang n+1 de la suite et celle du rang n. Soit n un entier naturel, on suppose que u_n\geqslant 1. On montre alors que u_{n+1}\geqslant 1. La relation de récurrence est la suivante : u_{n+1}=u_n^2+\dfrac12. Or, on a : u_n\geqslant1. Donc : u_n^2\geqslant 1. Et, comme \dfrac12. CH IV : Récurrence, calculs de sommes et produits I. Récurrence Danslasuitedeceparagraphe,ons'intéresseàdespropriétésPdéfiniessur l'ensembledesentiersnaturels.Lanotationndésigneraunentiernaturel. Exemple 1) P(n) :32n+1 +2n+2 estunmultiplede7 2) P(n) :32n +26n 5 estunmultiplede11 3) P(n) : 1 2 n n 6 1 n n 4) P( n) :2n 6 ! Lebutdecettesectionestdedéfiniruneméthodederaisonnementq

Le principe de récurrence - Le raisonnement par récurrence

RÉCURRENCES, SOMMES ET PRODUITS L'exemple précédent se traduit mathématiquement comme suit : Notons P(n) la propriété, « les gens ne travaillent pas le jour n ». La loi « Si l'on ne travaille pas toute une journée, alors on ne travaille pas le lendemain non plus », se traduit par : P(n) est vraie =) P(n+1) est vraie Autrement dit, si P(n) est vraie, alors P(n + 1) est également. bonjour comment on trouve la somme pour k variant de 1 à n de k^2 merçi pour votre aide Publicité . Posté le 04-03-2007 à 16:23:22 . gipa. Posté le 05-03-2007 à 13:24:22 . n(n+1)(2n+1)/6. ishamael66 6. The Beast of the Westcoast: Posté le 05-03-2007 à 15:26:05 . il a demandé comment on trouve... il me semble que l'on passe par des fonctions mais çà fait deux ans, je me rapelle. Somme des cubes. Nous venons de calculer la somme cumulée des cubes et la somme cumulée des entiers (les nombres triangulaires). Les deux sommes sont l'une le carré de l'autre. Ainsi 45² = 2025. Sommes de k cubes de nombres consécutifs k = 2. Divisible par 2n+1 = (2n + 1) (n² + n + 1) 2 3 + 3 3 = 5 x 7 = 35. 3 3 + 4 3 = 7 x 13 = 91. 4 3 + 5 3 = 9 x 21 = 189 k = 3. Divisible par 3n. EXERCICES MPSI A1. II. SOMMES, RECURRENCES, BINOME R. FERRÉOL 16/17 11. : Partant de u0=1,calculer u1,u2,u3puis conjecturer une formule pour u net la démontrer par récurrence, dans les cas suivants : (a) u n+1= u n u n+1 (b) u n+1= u n u2 n +1 (c) u n+1= u n u n+2 12. (nombres de Catalan) : On pose C0=1et C n+1

Démonstration de Somme de k^2 - Futur

Raisonnement par récurrence : corrigé Exercice no 1 Montrons par récurrence que : ∀n∈ N, 2n >n. • Pour n=0, 20 =1>0. L'inégalité à démontrer est donc vraie quand n=0. • Soit n>0. Supposons que 2n >net montrons que 2n+1 >n+1. 2n+1 =2×2n >2(n+1)(par hypothèse de récurrence) =n+1+n+1 >n+1. On a montré par récurrence que : ∀n∈ N, 2n >n. Exercice no 2 Montrons par. exemples de démonstration par récurrence. Exemple 1 : On considère la suite définie par : Comment faire pour démontrer par récurrence que pour tout entier naturel on a 1 ≤ u n ≤ 2 ?. Il faut déjà bien comprendre les étapes de la démonstration par récurrence Autre méthode, sans récurrence : on considère un carré C de côté k k n = ∑ 1 = nn(+1) 2 (voir figure) On définit A1 par l'aire d'un carré de côté 1 Puis, pour tout k 2, Ak par l'aire de l'équerre de largeur Suites Classiques - Récurrence - Sommes I -Généralités sur les suites Définition 1 Une suite réelle est une fonction d'une partie A de N dans R. u: A! R n 7! u(n) :˘un Remarque 1 •l'intervalle de définition peut donc être N. •Notation un et (un)n2N Différents procédés peuvent être utilisés pour définir une suite : 1. Expression du type : un ˘ f (n) Exemple 1 La suite.

Video: Donner la valeur simplifiée d'une somme par récurrence

Somme k² et k^3 - Forum Prepas

Tout autre symbol différent de k sera considéré comme constante car cet outil ne calcule pas les sommes doubles. Me contacter. Voulez vous me contacter ? C'est par ici . Faire un don. Pour m'encourager à toujours ajouter du contenu, tout don est le bienvenu. plan des outils -Compilateur Python -Simulation des réseaux de neurones-Calculatrice en ligne-Calculateur de loi binomiale. d esigne la somme des 1=k2, pour k allant de 1 a n. C'est une notation e cace pour d esigner 1+ 1 4 + 1 9 + + 1 (n 1)2 + 1 n2. Remarquons que nX+1 k=1 1 k2 est egal a 1 (n+1)2 + Xn k=1 1 k2. Une remarque avant de commencer: il est commode de donner des noms aux quantit es que nous allons mani-puler. Nous noterons donc Gn = Xn k=1 1 k2 et Dn = 3n 2n+1; les noms choisis indiquent qu'il s.

Somme (arithmétique) — Wikipédi

Nombres, curiosités, théorie et usages: somme des entiers, carrés, cubes, pairs, impairs, démonstration par induction, récurrence Exemple avec k = 2, soit deux termes. I 2x2-1 = I 3 = 2² (2x2² - 1) = 4x7 = 28 = 1 3 + 3 3 = 1 + 27 = 28. k = 3, soit trois termes. I 5 = 3² (2x3² - 1) = 9x17 = 153 = 1 3 + 3 3 + 5 3 = 153 . Somme des IMPAIRS successifs au cube pour k de 1 à 50. 1. Le raisonnement par récurrence est un outil très puissant que l'on attribue à Blaise Pascal. À l'aide de cette méthode, on peut démontrer des propriétés relatives aux nombres entiers positifs. Yannick Peux-tu nous donner un exemple? Alexandra D'accord! Considérons les expressions suivantes : \[1 = 1^2\] La somme des deux premiers entiers impairs donne : \[1 + 3 = 4 = 2^2\] On. k=1 k 2 n3, 8. Õn k=1 2 k=22 k. Correction H [005226] Exercice 8 ** Etudier la suite (u n) définie par p n+1 n= 1 2 p n+u n. Correction H [005227] Exercice 9 **T Récurrences homographiques Déterminer u n en fonction de n quand la suite u vérifie : 1. 8n2N; u n+1 = u n 3 2u n, 2. 8n2N; u n+1 = 4(u n 1) u n (ne pas se poser de questions d.

AP : récurrence (séances du 10/11 et 17/11) Exercice 1 : Soit x un réel, x ≠1 Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel n, 1+x+x2++xn= 1−xn+1 1−x. Correction Exercice 1 Exercice 2 : Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel n⩾1, ∑ q=1 n q2= n(n+1)(2n+1) 6 Correction Exercice 2 Exercice 3 : Soit (un) la suite définie par u0=2 et pour tout n de ℕ. appelant Sn la somme des n premiers nombres entiers positifs : Sn = 1 + 2 + 3 + + ( n-1) + n Sn = n récurrence, avec ses deux contraintes : fonctionner au départ, et se transmettre de l'un au voisin. Alors tout le monde est atteint. Résumons le raisonnement par récurrence. On est dans le contexte où l'on doit démontrer qu'une formule est vraie quel que soit n. Cela veut. Re : Récurrence somme de 1/racine(n) Excusez moi mais je n'ai toujours pas compris. J'ai essayé tout ce qui me passait par la tête. Je n'ai pas compris comment vous aviez fait avec A<B donc C <D 04/09/2016, 17h30 #9 gg0. Animateur Mathématiques Re : Récurrence somme de 1/racine(n) Heu tu es en prépa et tu n'es pas capable d'additionner deux inégalités ? Il serait temps de te mettre.

Exemple 3: somme des cubes Exercice 3 : Démontrer que :$$ \sum_{k=1}^n k^3=\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2=\dfrac{n^2(n+1)^2 }{4}.$$ Exemple 4 : inégalité de Bernoull (Hypothèse de récurrence). Montrons que Pn+1 est vraie. D'après l'hypothèse de récurrence, on sait que : « 4n+5 est un multiple de 3 » (HR) On traduit cette affirmation par un énoncé mathématique. Donc, il existe un entier k tel que 4n+5 = 3k. Ici k≥2 car n≥0. Et là, on essaie d'exprimer « 4n+1+5 » à l'aide de k Récurrence, dénombrement, binôme de Newton Récurrence Méthode La récurrence se fait en 4 étapes : Initialisation au rang n 0 On suppose la propriété vrai jusqu'à un rang n Alors la propriété est vraie au rang (n +1) Par récurrence, la propriété est vraie n ≥ n 0. Application Démontrons par récurrence que n ≥ 1, sin(n) (x) = sin (x + n ). (n) = dérivée n-ième Pour n.

Exercices sur la récurrence et les coefficients binomiaux Exercices sur le principe de récurrence et les coefficients binomiaux Exprimer sans symbole somme le réel ∑ i=0 n−1 ∑ k=1 n−i a i b k où a et b sont deux réels différents de 1 (Problème ENS 2006). Pour tout n ∈ N*, calculer ∑ k=0 n (k × k!) Calculer ∏ k=1 n (1 − 1 / k) puis ∏ k=2 n (1 − 1 / k) pour tout Récurrences, formules sommatoires. Les démonstrations de cours (formule du binômes, sommes géométriques arithmétiques, sommes télescopiques, somme des k^2, exemple des récurrences fortes ou doubles etc) doivent être parfaitement maîtrisées. Attention : pas de sommes doubles pour les colles du mardi... en attendant qu'elles fassent un peu moins peur j'espère à partir de mercredi. 2 Sommes et produits 3 La formule du bin^ome de Newton Dans ce tr es court chapitre, on introduit deux outils : un outils de raisonnement (la r ecurrence) et un outils de calcul (la notation somme). Ces deux outils pourront appara^ tre r eguli erement dans les cours et les exercices des autres chapitres. R ecurrences et sommes 2 / 23. Plan 1 Le raisonnement par r ecurrence 2 Sommes et produits. 1. par récurrence : on donne un ou plusieurs termes initiaux et une relation de récurrence, c'est à dire un terme de la suite en fonction du (ou des) termes précédent(s). 2. à l'aide d'un symbole somme ou d'un produit (c'est un cas particulier du précédent)

Les suites et la récurrence- somme des k factorielles

En langue française Si : La propriété est vraie à patir d'un certain rang $n_0 $ (initialisation) Pour tout rang $ p$ plus grand que $ n_0$, la propriété au. 4. Démontrer par récurrence que l'on a : pour tout entier n > 2 , S(n) = n(n−1) 2 Exercice n o 6 Autre méthode pour la somme des carrés On cherche si il existe deux réels a et b tels que le polynôme P dé ni par : P(x) = 1 3 x3 +ax2 +bx véri e pour tout nombre réel x la relation : P(x+1)−P(x) = x2 (1) 1. On suppose dans cette.

Démonstration somme de k² (méthode particulière), exercice

Exercice 11 - Somme et produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Démontrer que si deux entiers relatifs sont premiers entre eux, leur somme et leur produit sont premiers entre eux CHAPITRE 2 Raisonnement par récurrence On veut démontrer une propriété qu'ont tous les entiers naturels n, par exemple : « la somme de tous les entiers de 0 à n est égale à n(n 1)/2 ». Comme on considère une propriété quelconque, on va la noter P(n), à lire : n a la propriété P. On veut donc montrer que P(0) est vraie, ainsi que P(1), P(2), jusqu'à l'infini. On utilise.

Raisonnement par récurrence — Wikipédi

  1. Enlevons le terme ! (k=n+1 de la première somme et le terme !n k=0 de la deuxième somme : (a+b)n+1=C n a n+1b0+ n C0a0bn+1+ n Ck1akbn+1)k k=1 n # + n C kab(n+1 k=1 n # Les deux premiers termes valent respectivement ! a n+1 et b, et on peut désormais réunir les deux sommes : ! (a+b)n+1=an+1+bn+1+n Ck1+ n [Ck]akb(n+1)k k=1 n # Pour simplifier ce qu'il y a entre crochets, on utilise la.
  2. 1/k^2,k,1, ) 1/k^4,k,1, ) dans vn+1la somme des termes jusqu'à u n. Récurrence linéaire d'ordre 2 Etudions par exemple uu u nn n=−32−−12avec u 0 =2 et 1 1 On remplace la relation de définition par le système : uu v vu nn n nn =− = RS T−− − 32 11 1 On entre alors les valeurs de u0 et u1 respectivement dans VnStart et UnStart, et on choisit nStart=1. Sur la TI-83, il est.
  3. Montrons le par récurrence. a) initialisation. Pour n=0 , 5 0-2 0 = 1-1 = 0 et 0 est un multiple de 3 (0=3x0) Donc l'initialisation est vérifié. b) L'hérédité. Supposons P vraie au rang k (k Naturel) [5 k-2 k est un multiple de 3] -> hypothése de recurrence. et montrons qu'alors P est vraie au rang k+1. 5 k+1-2 k+1 = 5 k x5 -2 k x

1. On nomme la proposition que l'on souhaite démontrer. 2. Cette étape est l'initialisation : on vérifie que P 0 \mathcal{P}_0 P 0 est vraie en remplaçant n n n par 0 0 0. 3. On énonce l'hypothèse de récurrence dont on se servira dans la démonstration de l'hérédité. 4. On démontre l'hérédité de la proposition. La plupart du temps, c'est la partie la plus technique du. EP 19 : Somme de termes d'une suite On obtient ainsi la liste des Vk 2 pour k variant de 1 à 30. On peut constater que, pour tout k variant de 1 à 30, on a : Sk = Vk 2. 4. D'après le constat précédent, il faut démontrer que pour tout entier naturel n, Sn = n2 (n +1)2 4. Procédons par récurrence en remarquant que : Sn + 1 = Sn + (n + 1) 3. Ouvrir une page Calculs. Définir s(n. la somme des deux cases qui sont au-dessus. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 On constate qu'il y a un lien entre la n-ième ligne du triangle de Pascal et le développement de (x+y)n: Proposition 6 (Formule du binôme de Newton). Soient x,y des nombres réels et n > 1 un entier. Alors : Xn k=0 n k xkyn-k = (x+y)n. Notation. Avant de démontrer. En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Équivalents et développements de suites : Équivalent d'une suite définie par récurrence Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par récurrence », n'a pu être restituée correctement ci-dessus Je pensais utiliser la formule de récurrence, mais je pense arriver sur le même problème. On peut aussi remarquer une symétrie, mais bon, je vois pas en quoi ça m'avance. Bref si vous pouviez me donner une piste..

Terminale Spécialité Maths : Les Suite

Studylib. Les documents Flashcards. S'identifie En utilisant le 2), montrer que: « Si u k = k k 1 alors u k 1= » k 1 k 2 J'ai toujours pensé qu'il n'avait pas assez d'imagination pour devenir mathématicien ! Hilbert, David au sujet d'un étudiant qui a renoncé aux mathématiques pour la poésie 1/3 D:\docs_lycee_09_10\TS\activite-groupe\recurrence.odt 23/09/09 Terminale S Activité: Suites et récurrence II- A propos de conjecture On. Chacune des formules peut être acquise en raisonnant par récurrence. Exercice 4 5167 . ∑ k = 0 n k! ≤ 2 ⋅ n! pour tout Méthode: On peut calculer la somme en second membre en linéarisant cos 2 ⁡ (k ⁢ x). On sait cos ⁡ (2 ⁢ a) = 2 ⁢ cos 2 ⁡ (a)-1 et donc cos 2 ⁡ (k ⁢ x) = 1 2 ⁢ (1 + cos ⁡ (2 ⁢ k ⁢ x)). On en déduit ∑ k = 0 n cos 2 ⁡ (k ⁢ x) = 1 2 RÉCURRENCE, SOMME, PRODUIT 1.1Le raisonnement par récurrence 1.1.1La récurrence simple Soit P(n) une propriété dépendant d'un entier n. Si Initialisation: P(n 0) est vraie pour un certain entier n 0, Hérédité: P(n) )P(n+ 1) est vraie pour tout entier n n 0, alors P(n) est vraie pour tout entier n n 0. Propriété 1.1 (Principe du raisonnement par récurrence) Nous admettrons ce.

des k^2 et la somme des k de 1 à n, ce qui sont des exercices classiques Vincent Dominique MICOLLET a écrit : [..] Joe Cool (24/09/2007, 21h03) Dominique MICOLLET a écrit : > J'ai une relation de récurrence : > Q(n)= Q(n-1) + n(2n-1) > Démontrer que > Q(n)=(4n^3+3n²-n)/6 > A posteriori c'est facile à vérifier. > Mais comment arrive-t'on a priori à ce résultat ? On n'y arrive pas. C. RÉCURRENCE, SOMMES ET PRODUITS On présente dans ce chapitre un nouvel outil de démonstration : le raisonnement par récurrence. Ce type de raison-nement s'avère très efficace pour démontrer qu'une propriété dépendant d'un entier naturel est vraie. I.INTRODUCTION I. 1Un exemple concret On dispose d'un certain nombre de dominos placés les uns après les autres. Pour les faire. RÉCURRENCE, SOMMES, PRODUITS. •Raisonnement par récurrence. •Définition, propriétés des sommes : linéarité, relation de Chasles. •Sommes télescopique. Changement d'indice. •Sommes usuelles. •Produits •Factorielles. QUESTIONS DE COURS Exercice 1. 1.Enoncer et démontrer la formule donnant Xn k=0 k. 2.Enoncer la formule. - Si k 2~2;n , il existe un scalaire k tel que u(e0 k) = ke1 + v(e 0 k), et par hypothèse le coefficient de e0 k dans la décomposition de v(e0 k) dans la base (e 0) vaut t k. De ceci il résulte que les éléments diagonaux de Mat(e0)(u) sont les t1;:::;t n: la récurrence se propage. Partie IV.Décomposition en somme de projecteurs. Soit un réel positif ou nul. On considère la suite définie par et pour tout entier : . Exprimer , , en fonction de . Conjecturer la valeur de en fonction de et de . Démontrer, par récurrence, la conjecture émise à la question précédente. Corrigé car est un réel positif ou nul. Au vu [ On la somme puis on développe pour se rendre compte que plein de termes s'éliminent. C'est un télescopage de termes. Finalement on obtient la formule : Somme des carrés par récurrence. Prouvons par récurrence que la somme des carrés est égale à n(n+1)(2n+1)/6. Remarque : on peut calculer cette somme en calculant la somme de n+1 au.

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